O Teorema de Bernoulli

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O Teorema de Bernoulli

Bernoulli foi um ‘cientista’ que além de estudar cálculo diferencial e integral entre outras coisas, enunciou a lei que diz: ‘quanto maior for o fluxo de ar que passa por uma determinada superfície, menor será a pressão a que essa estará submetida’.

Isso ocorre por que o com o ar em movimento sobre a superfície da água, promove a diminuição da pressão que o liquido está submetido. Assim a água tende a ‘voar’.

Esse trabalho elaborado por Bernoulli, foi responsável por grande parte da evolução da aeronáutica. Nada mais que promoveu o inicio da realização de um dos sonhos mais antigos do homem, VOAR.

O Arrasto

A força conhecida como arrasto é aquela causada pela resistência e pela turbulência do ar.

Para melhor ilustrar: quando você estiver andando com seu carro em uma auto estrada, tente colocar a mão para fora da janela. Você irá observar que ela tenderá ficar para trás.

Outro exemplo clássico do efeito da resistência do ar é : em algum dia de ventania, observe um pequeno zunido vido dos fios de alta tensão. Esse barulho se deve ao ar em turbilhonamento.

Puxando o assunto para os aviões, podemos observar que, em seus projetos, tendem a minimizar o arrasto. Pois o intuito é minimizar o turbilhonamento. Vejamos algumas ilustrações:

Asa4.gif (8356 bytes)

A figura acima é um ótimo exemplo de objeto com aerodinâmica boa, ou melhor, otimizada. Pois produz o mínimo de arrasto, o mínimo de turbilhonamento de ar. Já na figura abaixo, alterando o angulo de ataque, altera-se o arrasto. Isso por que o angulo de ataque também influencia na sustentação do aerofólio. Se ele for muito grande , a tendência é o turbilhonamento do ar, causa o stol(perda de sustentação). Note-se que o ângulo de ataque é o ângulo que a linha de comprimento da asa faz com a horizontal (por exemplo, quanto mais um avião se inclina para cima, maior é o seu ângula de ataque. Se ele permanece na horizontal, seu ângulo de ataque fica próximo a zero).

Arrasto2.gif (3794 bytes)

Arrasto3.gif (8437 bytes)

Retomando o exemplo do fio de alta tensão, nessa figura podemos entender o que realmente acontece.

Arrasto4.gif (4668 bytes)

Para evitar o turbilhonamento do ar na superfície da asa, adota-se a forma de carenagem arredondada, para que como na figura acima o turbilhonamento ocorra na parte posterior do aerofólio, isto é, o perfil que nós conhecemos de asa é esse pois ele ‘força’ o ar a se deslocar sobre a superfície de forma natural como se essa estivesse apenas ‘cortando’, procurando manter o ambiente como era antes, sem turbulência.

Note que pela figura abaixo, que a velocidade do ar no extradorso (em cima) é maior que no intradorso (embaixo). Mas a velocidade do ar no final do aerofólio tende a ser igual se otimizado o arrasto.

Image10.gif (9571 bytes)

Nesta figura, podemos entender com mais clareza quais as forças que agem em uma asa. Note a resultante, a soma vetorial de L (Sustentação) e D (Arrasto).

Arrasto5.gif (5205 bytes)

As figuras abaixo ilustram o que o turbilhonamento na ponta da asa pode fazer com o ar:

Viao.gif (62994 bytes)        Turb.gif (15113 bytes)

 

Muitas pessoas sempre acharam que esse desenho feito nas nuvens era devido as turbinas ou ao deslocamento de ar das hélices dos aviões. Mas não, isso ocorre pelo turbilhonamento que ocorre na asa.

Por que otimizar o arrasto (o volume , a sustentação e o bordo de ataque):

As aeronaves são classificadas em:

  • De transporte carga;
  • Alto desempenho;
  • Acrobáticas;
  • Etc.( pois o resto não irá nos interessar).

Na confecção de uma aeronave, leva-se em conta o fim que essa aeronave irá tomar.

Para uma aeronave de transporte, devido seu tamanho o arrasto produzido pelo bordo de ataque é compensado pela sustentação gerada pela asa. Podemos observar que a diferença da distância que o ar percorre no extra pelo intradorso é relativamente grande, pois assim o ar deverá ‘correr’ mais no extra do que no intradorso, pois só assim poderá existir uma diferença de pressão entre a parte superior da asa com a parte inferior, e possíbilitando o vôo. Em alguns casos essa diferença de velocidade chega a 25%.

Quanto maior for a velocidade do ar, maior será o atrito cinético do escoamento sobre a superfície; o que acarreta um aumento de temperatura no aerofólio. Observe os vetores gradientes que indicam a pressão sofrida nesses pontos.

 Pressao.gif (6612 bytes)

Isso acarreta um numero considerável de problemas na construção de uma asa, como: Que material pode suportar tais diferenças de pressão, ter a flexibilidade suficiente para não partir em uma sobre carga de pressão e ainda não deformar pelo aquecimento causado pelo atrito do ar?

Para os Militares, que por natureza não desejam ser detectados pelos radares infravermelhos do inimigo, promovem pesquisas que envolvem milhões de dólares para evitar esses problemas, pois por voarem em situações críticas isso seria muito prejudicial. Veja o caso abaixo, aeronaves de menor bordo de ataque são mais difíceis de serem detectadas (como: T-38 e F-16) em relação aos de maiores como o TU-95. (asdistâncias estão em milhas náuticas/km). 

Argumentos que iremos utilizar em nossos cálculos de otimização:

Após vários refinamentos matemáticos nas fórmulas que nos permite equacionar a sustentação e o arrasto, temos:

Para a sustentação:

Para o arrasto causado pela asa:

onde:

L= sustentação;

C= coeficiente de sustentação;

r = densidade do ar;

v= velocidade;

S= Área da seção vertical da asa;

CD= coeficiente de arrasto.

 

Cálculos

Nosso maior empecílio nesse projeto foi a ausência de apoio computacional que nos auxiliasse na formulação de equações matemáticas que nos desse uma de uma maneira próxima da real , o perfil de um aerofólio.

Uma asa pode ser entendida (analisando os eixos x, y, z) da seguinte maneira:

Image17.gif (32202 bytes)

Fazendo-se cortes sucessivos em XY variando Z de 0 (encostado na fuselagem) até a ponta da asa, obtemos as seções:

Como já discutimos anteriormente, estaremos otimizando uma asa em função do bordo de ataque , sustentação e arrasto. Para tal iremos nos utilizar de uma ou mais equações que nos forneçam o intra e o extradorso.

Para ilustrar o como poderia ser feito a asa desse B-17, usamos o programa Mathematica versão 3.0 e tentamos ser fiéis ao modelo. Veja abaixo, o procedimento usado para desenhar esse aerofólio:

  1. Para desenhar o Intra Dorso, usamos:

ParametricPlot3D [ {3*r*Cos[t], (1/10)*r*Sin[t], 1+r^2} , {t,0,Pi} ,{r,0,20}]

E encontramos :

wpe1.jpg (11207 bytes)

Agora o Extra Dorso:

ParametricPlot3D [ {3*r*Cos[t], r*Sin[t], 1+r^2} , {t,Pi,2*Pi} , {r,0,20} 

E:

wpe2.jpg (6908 bytes)

Os motores nasceram das seguintes equações:

Motor 1:

ParametricPlot3D [ {r^2-30, 2*r*Cos[t], 2*r*Sin[t]+250} , {t,0,2*Pi} , {r,0,10};

Motor 2:

ParametricPlot3D [ {r^2-20, 2*r*Cos[t], 2*r*Sin[t]+350} , {t,0,2*Pi} , {r,0,10};

Assim, os motores terão a forma de um parabolóide:

Motor 1: Motor 2:

wpe3.jpg (8814 bytes)    wpe4.jpg (7839 bytes)

 Unindo todos os desenhos em um só, pelo comando ‘Show[a,b,c,d]’, temos:

wpe5.jpg (15961 bytes)    wpe6.jpg (15064 bytes)

Vista do Intra Dorso Vista do ExtraDorso

Nessa asa não conseguimos a perfeição na semelhança do desenho com o real, por vários motivos já discutidos. As principais diferenças são:

  1. O material que encontramos sobre essa aeronave não foi suficiente para determinar o angulo de ataque.
  2. Por falta de acesso ao perfil real da asa, que está no plano xy, apesar de procurar através de fotos, e na tentativa de encontrar uma empiricamente, conseguimos uma aproximação satistatória para o nível aprofundado em nossas pequisas no campo aeronáutico.
  3. E por final, as localizações dos motores na asa não condizem com a realidade, também, porque não tinhamos materiais suficientes para tal caso.

Como não nos foi possivel até agora otimizar o funcionamento de uma asa qualquer, escolhemos o Su-26MX (fabricado pela Sukhoi, industria Russa) pelo falto de ter sido o único ao qual tivemos acesso aos perfis NACA.

Para melhores esclarecimentos: Esse avião é um modelo acrobático, que pode voar a baixas velocidades sem perder sustentação (isso é, uma de suas caracteristicas é a baixa velocidade de stol) para efetuar suas manobras. Ele já é um modelo ótimo, portanto faremos o contrário ao que foi sugerido (iremos desotimizá-lo).

Obs.: Se a agência Russa demorou quase 20 anos para otimizar com eficiência reconhecida e imitada até os dias de hoje, não seremos nós, alunos calouros e novatos na área (apesar de muito interessados nela) , que em dois meses iríamos otimizá-lo e derrubá-los do pódium. Nós não queremos inventar a roda!

O alvo da ‘desotimização’, eis o mito, Su-26MX:

 

Fonte: http://www.ime.unicamp.br/~calculo/mostra/alunos/pedros/apresentacao.htm

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